Glidande Medelvärde Order Q

Flyttande medelvärde - MA. BREAKING DOWN Moving Average - MA. As ett SMA-exempel, överväga en säkerhet med följande stängningskurser över 15 dagar. Vecka 1 5 dagar 20, 22, 24, 25, 23.Veek 2 5 dagar 26, 28 , 26, 29, 27.Veek 3 5 dagar 28, 30, 27, 29, 28.A 10-dagars MA skulle genomsnittliga slutkurserna för de första 10 dagarna som första datapunkt. Nästa datapunkt skulle släppa den tidigaste Pris, lägg till priset på dag 11 och ta medeltalet och så vidare som visas nedan. Som noterat tidigare lagrar MAs nuvarande prisåtgärd eftersom de är baserade på tidigare priser, ju längre tid för MA, desto större är lagret en 200-dagars MA kommer att ha en mycket större grad av fördröjning än en 20-dagars MA eftersom den innehåller priser för de senaste 200 dagarna. Den längd som MA ska använda beror på handelsmålen, med kortare MAs som används för kortfristig handel Och långsiktiga MAs passar bättre för långsiktiga investerare 200-dagars MA följs i stor utsträckning av investerare och handlare, med raster över och under denna glidande genomsnittliga konsi ledde till att vara viktiga handelssignaler. MAs ger också viktiga handelssignaler på egen hand eller när två medelvärden passerar över. En stigande MA indikerar att säkerheten är i en uptrend medan en minskande MA indikerar att den är i en downtrend. På liknande sätt är uppåtgående momentum bekräftas med en bullish crossover som uppstår när en kortsiktig MA korsar en längre sikt MA Downward momentum bekräftas med en baisse crossover som uppstår när en kortsiktig MA korsar under en längre sikt MA. Autoregressive Moving Average ARMA p , Q Modeller för tidsserieanalys - Del 2.I del 1 betraktade vi den autoregressiva modellen för order p, även känd som AR p-modellen. Vi introducerade den som en förlängning av slumpmässig promenadmodellen i ett försök att förklara ytterligare seriekorrelation i Finansiella tidsserier. Utfälligt insåg vi att det inte var tillräckligt flexibelt för att verkligen fånga all autokorrelation i stängningskursen för Amazon Inc AMZN och S P500 US Equity Index. Den primära anledningen till Detta är att båda dessa tillgångar är villkorligt heteroskedastiska vilket innebär att de är icke-stationära och har perioder av varierande varians eller volatilitetsklypning, vilket inte beaktas av AR p-modellen. I framtida artiklar kommer vi så småningom att bygga upp till Autoregressiva integrerade rörliga genomsnittliga ARIMA-modeller samt de villkorligt heteroskedastiska modellerna av ARCH - och GARCH-familjerna. Dessa modeller kommer att ge oss våra första realistiska försök att förutse tillgångspriserna. I den här artikeln kommer vi dock att introducera Moving Average of Order q-modell, känd som MA q Detta är en del av den mer allmänna ARMA-modellen och som sådan behöver vi förstå det innan vi går vidare. Jag rekommenderar starkt att du läser de tidigare artiklarna i Time Series Analysis-samlingen om du inte har gjort det De kan alla hittas här. Köpa genomsnittliga MA-modeller av order qA Flytta genomsnittlig modell liknar en autoregressiv modell, förutom att istället för att vara en linjär combi nation av tidigare tidsserier värden, det är en linjär kombination av tidigare vita brus villkor. Intuitivt betyder detta att MA-modellen ser sådana slumpmässiga vita bruschocker direkt vid varje aktuellt värde av modellen Detta står i kontrast till en AR p-modell , Där de vita bruschockerna endast ses indirekt via regression på tidigare termer av serien. En viktig skillnad är att MA-modellen bara kommer att se de sista q-chockerna för en viss MA q-modell, medan AR p-modellen kommer att ta allt Tidigare chocker beaktas, om än på ett svagare sätt. Matematiskt är MA q en linjär regressionsmodell och strukturerad på AR p. Möjlig medelmodell för order qA tidsseriemodell, är en rörlig genomsnittsmodell av order q MA Q, om. Börja xt wt beta1 w ldots betaq w end. Where är white noise med E wt 0 och variance sigma 2.Om vi ​​anser Backward Shift Operator se en tidigare artikel då kan vi skriva om ovanstående som en funktion phi av. Börja xt 1 beta1 beta2 2 ldots betaq q wt phiq wt end. We kommer att använda phi-funktionen i senare artiklar. Sekreta Order Properties. As med AR p är medlet av en MA q-process noll. Det är lätt att se som medelvärdet är helt enkelt en summa av medel för vita ljudvillkor, som alla är själva noll. börja text enspace mux E xt summa E wi 0 sluta starta text enspace sigma 2w 1 beta 21 ldots beta 2q sluttext enspace rhok vänster q sluta right. Where beta0 1.We kommer nu att generera några simulerade data och använda den för att skapa korrelogram Detta kommer att göra ovanstående formel för rhok något mer konkret. Simuleringar och korrelogram. Låt oss börja med en MA 1-process Om vi ​​ställer beta1 0 6 får vi följande modell. Som med AR p-modellerna i föregående artikel kan vi använda R att simulera en sådan serie och sedan plotta korrelogramet Eftersom vi har haft mycket övning i den tidigare tidsserieanalysartikelserien för att utföra tomter, skriver jag R-koden i sin helhet i stället för att dela upp den. Utmatningen är som följer. Realisering av MA 1-modell, med beta1 0 6 och associerat korrelogram. Som vi såg ovan i formeln för rhok, för kq, bör alla autokorrelationer vara noll. Eftersom q 1 bör vi se en signifikant topp vid k 1 och då obetydlig Toppar efter det Men på grund av provtagning Bias vi borde förvänta oss att se 5 marginellt signifikanta toppar på ett urval av autokorrelationsplot. Detta är just vad korrelogramet visar oss i det här fallet Vi har en signifikant topp vid k 1 och då obetydliga toppar för k 1, förutom vid k 4 där vi har en marginellt signifikant topp. Faktum är att detta är ett användbart sätt att se huruvida en MA q-modell är lämplig. Genom att titta på korrelogrammet för en viss serie kan vi se hur många sekventiella icke-nolllagringar existerar. Om q sådana lager existerar då vi kan legitimt försöka anpassa en MA q-modell till en viss serie. Eftersom vi har bevis från våra simulerade data om en MA 1-process, ska vi nu försöka passa en MA 1-modell till våra simulerade data. Tyvärr finns det inte Ett ekvivalent ma-kommando till kommandot för autoregressiv modell ar i R. I stället måste vi använda det generella arima-kommandot och sätta de autogegressiva och integrerade komponenterna till noll. Vi gör detta genom att skapa en 3-vektor och ställa in de två första komponenterna den autogressiva a Nd integrerade parametrar till noll. Vi får lite användbar effekt från arima-kommandot Först kan vi se att parametern har beräknats som hatt 0 602, vilket ligger mycket nära det verkliga värdet av beta1 0 6 För det andra är standardfel är redan beräknade för oss, vilket gör det enkelt att beräkna konfidensintervall. För det tredje får vi en beräknad varians, loggbarhet och Akaike Informationskriterium som är nödvändig för modelljämförelse. Den stora skillnaden mellan arima och ar är att arima uppskattar en avlyssningsperiod eftersom den gör Inte subtraherar seriens medelvärde. Därför måste vi vara försiktiga när vi utför prognoser med arima-kommandot. Vi kommer tillbaka till den här punkten senare. För en snabb kontroll ska vi beräkna konfidensintervall för hatt. Vi kan se att 95 Konfidensintervallet innehåller det äkta parametervärdet för beta1 0 6 och så kan vi döma modellen en bra passform. Det borde givetvis förväntas eftersom vi simulerade data i den första Place. How ändras saker om vi ändrar tecknet bet1 till -0 6 Låt oss utföra samma analys. Utgången är enligt följande. Realisering av MA 1-modell, med beta1-0 och associerat korrelogram. Vi kan se det vid K 1 vi har en signifikant topp i korrelogrammet, förutom att det visar negativ korrelation, som vi förväntar oss av en MA 1-modell med negativ första koefficient. Återigen är alla toppar bortom k 1 obetydliga. Låt oss passa en MA 1-modell och uppskatta parameter. Hatt -0 730, vilket är en liten underskattning av beta1 -0 6 Slutligen, låt oss beräkna konfidensintervallet. Vi kan se att det sanna parametervärdet för beta1 -06 finns inom 95 konfidensintervallet, vilket ger oss bevis på En bra modell fit. Let s springa igenom samma procedur för en MA 3-process Den här gången borde vi förvänta oss betydande toppar vid k och obetydliga toppar för k 3. Vi ska använda följande koefficienter beta1 0 6, beta2 0 4 Och beta3 0 2 Låt oss simulera en MA 3-process från denna modell. Jag har ökat antalet slumpmässiga prover till 1000 i denna simulering vilket gör det lättare att se den verkliga autokorrelationsstrukturen på bekostnad av att originalserien blir svårare att tolka . Utmatningen är enligt följande. Realisering av MA 3-modell och associerat korrelogram. Som förväntat är de tre första topparna signifikanta. Men det är också fjärde. Men vi kan med rätta föreslå att detta kan bero på provtagning som vi förväntar oss att se 5 av topparna är tecken Ificant bortom k q. Låt oss nu anpassa en MA 3-modell till data för att försöka uppskatta parametrar. Uppskattningarna hatt 0 544, hatt 0 345 och hatt 0 298 ligger nära de sanna värdena bet1 0 6, beta2 0 4 och Beta3 0 3. Vi kan också producera konfidensintervaller med respektive standardfel. I varje fall innehåller 95 konfidensintervaller det sanna parametervärdet och vi kan dra slutsatsen att vi har en bra passform med vår MA 3-modell, vilket borde förväntas. Finansiella data. I del 1 ansåg vi Amazon Inc AMZN och S P500 US Equity Index Vi monterade AR p-modellen till båda och fann att modellen inte kunde effektivt fånga komplexiteten i seriell korrelation, särskilt i casten av S P500, där långminneseffekter tycks vara närvarande. Jag vann inte diagrammen igen för priser och autokorrelation, istället hänvisar jag dig till föregående inlägg. Amazon Inc AMZN. Börja med att försöka passa ett urval av MA q modeller till AMZN, nämligen med q i Som i del 1, använder vi q Uantmod att ladda ner de dagliga priserna för AMZN och sedan konvertera dem till en logg returnerar ström av slutkurs. När vi har loggen returnerar strömmen kan vi använda arima kommandot för att passa MA 1, MA 2 och MA 3 modeller och sedan uppskatta Parametrar för varje För MA 1 har vi. Vi kan plotta resterna av de dagliga loggen retur och den monterade modellen. Residuals av MA 1 Modell Tillagd till AMZN Daily Log Prices. Notice att vi har några betydande toppar vid lags k 2, k 11, k 16 och k 18, vilket indikerar att MA 1-modellen osannolikt inte kommer att passa bra för AMZN-loggens retur, eftersom det inte ser ut som en realisering av vitt brus. Låt oss prova en MA 2-modell. Båda uppskattningarna för beta-koefficienterna är negativa Låt oss plotta resterna igen. Ridder av MA 2-modell Tillagd till AMZN-dagliga logpriser. Vi kan se att det finns nästan noll autokorrelation i de första lagren. Vi har dock fem marginellt Signifikanta toppar vid lags k 12, k 16, k 19, k 25 och k 27 Detta är su ggestive att MA 2-modellen fångar mycket av autokorrelationen, men inte alla långminneseffekterna Vad sägs om en MA 3-modell. När vi återigen kan vi plotta resterna. Resuméer av MA 3-modell anpassad till AMZN-dagliga loggpriser . MA 3-resursplanen ser nästan identisk ut som MA 2-modellen. Det är inte förvånande, eftersom vi lägger till en ny parameter i en modell som tydligen har förklarat bort mycket av korrelationerna på kortare nivåer, men det vann inte mycket Av en effekt på längre sikt. Alla dessa bevis tyder på det faktum att en MA q-modell är osannolikt att vara användbar för att förklara all seriell korrelation i isolation åtminstone för AMZN. Om du kommer ihåg, i del 1 vi såg att den första ordningens avvikande dagliga avkastningsstrukturen hos S P500 hade många signifikanta toppar vid olika lags både kort och lång. Detta gav bevis för både villkorlig heteroskedasticitet, dvs volatilitetsklypning och långminneseffekter. Det får oss att dra slutsatsen att AR p mo del var otillräcklig för att fånga all autokorrelation närvarande. Som vi har sett ovan var MA q-modellen otillräcklig för att fånga ytterligare seriell korrelation i resterna av den monterade modellen till den första orderens olika dagliga loggprisserier. Vi ska nu försöka passa in MA q modell till S P500. En kanske frågar varför vi gör detta är om vi vet att det är osannolikt att vara bra. Det här är en bra fråga. Svaret är att vi behöver se exakt hur det passar bra, Eftersom det här är den ultimata processen vi kommer att följa när vi stöter på mycket mer sofistikerade modeller, som är potentiellt svårare att tolka. Vi börjar med att erhålla data och konvertera den till en första ordens olika serie av logaritmiskt omformade dagliga stängningskurser som i Den föregående artikeln. Vi ska nu passa en MA 1, MA 2 och MA 3-modell till serien, som vi gjorde ovan för AMZN Låt oss börja med MA 1.Let s göra en plot av resterna av denna monterade modell. Rester av MA 1 Model Fi tted till S P500 Daily Log Prices. Den första signifikanta toppen uppträder vid k 2 men det finns många fler på k. Det här är helt klart inte en realisering av vitt brus och så måste vi avvisa MA 1-modellen som en potentiell bra passform för S P500. Förbättrar situationen med MA 2.Om igen, låt oss göra en översikt över resterna av denna monterade MA 2-modell. Återförsäljare av MA 2-modell Tillagd till S P500 dagliga logpriser. När toppen vid k 2 har försvunnit Som vi förväntar oss, är vi fortfarande kvar med de betydande topparna vid många längre lags i resterna. Återigen finner vi att MA 2-modellen inte är en bra form. Vi borde förmoda att MA 3-modellen ser mindre seriell korrelation Vid k 3 än för MA 2, men än en gång borde vi också förvänta oss ingen minskning i ytterligare lags. Låt oss slutligen göra en översikt över resterna av denna monterade MA 3-modell. Återförsäljare av MA 3-modell Fitted to S P500 Daily Log Priser. Det här är just det vi ser i korrelogrammet av resterna. Därför är MA 3, som med de andra modellerna ovan, ingen Passar bra för S P500. Vi har nu granskat två stora tidsseriemodeller i detalj, nämligen den autogressiva modellen för order p, ARp och sedan Moving Average of order q, MA q Vi har sett att de båda kan förklara Bort några av autokorrelationen i resterna av första ordningens olika dagliga logpriser på aktier och index, men volatilitetsklypning och långminneseffekter kvarstår. Det är äntligen dags att rikta vår uppmärksamhet åt kombinationen av dessa två modeller, nämligen den autoregressiva rörelsen Medelvärdet av order p, q, ARMA p, q för att se om det kommer att förbättra situationen ytterligare. Men vi måste vänta tills nästa artikel för en fullständig diskussion. Bara komma igång med kvantitativ handel.2 1 Flytta genomsnittliga modeller MA modeller. Tidsseriemodeller som kallas ARIMA-modeller kan innefatta autoregressiva termer och eller glidande medelvärden. I vecka 1 lärde vi oss en autoregressiv term i en tidsseriemodell för variabeln. Xt är ett fördröjt värde på xt. Till exempel en lag 1-aut Oregressiva termen är x t-1 multiplicerad med en koefficient Denna lektion definierar glidande medelvärden. En glidande medelfrist i en tidsseriemodell är ett tidigare fel multiplicerat med en koefficient. Låt wt överskridas N 0, sigma 2w, vilket betyder att wt är Identiskt oberoende fördelade, var och en med en normal fördelning med medelvärde 0 och samma varians. Den 1 st ordningsrörande genomsnittsmodellen betecknad med MA 1 är. Xt mu wt theta1w. Den 2: a beställer rörlig genomsnittsmodell, betecknad med MA 2 är. Xt mu wt theta1w theta2. Den q-ordningsrörelserna medellägesmodellen, betecknad med MA q är. Xt mu wt theta1w theta2w prickar thetaqw. Note Många läroböcker och programvara definierar modellen med negativa tecken före villkoren. Detta förändrar inte de allmänna teoretiska egenskaperna hos modellen, även om den vrider de algebraiska tecknen på uppskattade koefficientvärden och oskydda termer i Formler för ACF och avvikelser Du måste kontrollera din programvara för att verifiera om negativa eller positiva tecken har använts för att korrekt skriva den beräknade modellen R använder positiva tecken i sin underliggande modell, som vi gör här. De teoretiska egenskaperna hos en tidsserie med En MA 1-modell. Notera att det enda nonzero-värdet i teoretiskt ACF är för lag 1 Alla andra autokorrelationer är 0 Således är ett sampel ACF med en signifikant autokorrelation endast vid lag 1 en indikator på en möjlig MA 1-modell. För intresserade studenter, Bevis på dessa egenskaper är en bilaga till denna handout. Exempel 1 Antag att en MA 1-modell är xt 10 wt 7 w t-1 där wt överför N 0,1 Således koefficienten 1 0 7 Th E teoretisk ACF ges av. En plot av denna ACF följer. Den plott som just visas är den teoretiska ACF för en MA 1 med 1 0 7 I praktiken har ett prov som vunnits t ge ett så tydligt mönster. Med hjälp av R simulerade vi n 100 Provvärden med hjälp av modellen xt 10 wt 7 w t-1 där w t. iid N 0,1 För denna simulering följer en tidsserieplot av provdata. Vi kan inte berätta mycket av denna plot. Provet ACF för den simulerade data följer Vi ser en spik vid lag 1 följt av allmänt icke-signifikanta värden för lags över 1 Observera att provet ACF inte matchar det teoretiska mönstret för den underliggande MA 1, vilket är att alla autokorrelationer för lags över 1 kommer att vara 0 A Olika prov skulle ha ett något annorlunda prov ACF som visas nedan, men skulle troligen ha samma breda egenskaper. Deoretiska egenskaperna hos en tids serie med en MA 2-modell. För MA 2-modellen är de teoretiska egenskaperna följande. Notera att den enda nonzero värden i teoretisk ACF är för lags 1 och 2 autocorrelat Joner för högre lags är 0 Så, ett ACF-prov med signifikanta autokorrelationer vid lags 1 och 2, men icke-signifikanta autokorrelationer för högre lags indikerar en möjlig MA 2-modell. N 0,1 Koefficienterna är 1 0 5 och 2 0 3 Eftersom detta är en MA 2, kommer den teoretiska ACF endast att ha nonzero-värden endast vid lags 1 och 2.Values ​​av de två icke-oberoende autokorrelationerna är. En plot av den teoretiska ACF följer. Som nästan alltid är fallet, samplingsdata som vunnit t uppträder ganska Så perfekt som teori Vi simulerade n 150 provvärden för modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 var w t. iid N 0,1 Tidsseriens plot av data följer Som med tidsseriens plot för MA 1-provdata kan du inte berätta mycket för. Provet ACF för den simulerade data följer Mönstret är typiskt för situationer där en MA 2-modell kan vara användbar. Det finns två statistiskt signifikanta spikar vid lags 1 och 2 följt av icke - - värda värden för andra lags Observera att på grund av provtagningsfel stämde provet ACF inte Det teoretiska mönstret exactly. ACF för General MA q Models. A egenskap av MA q modeller i allmänhet är att det finns icke-oberoende autokorrelationer för de första q lagsna och autokorrelationerna 0 för alla lags q. Non-unikhet av samband mellan värdena på 1 och rho1 I MA 1-modell. I MA 1-modellen, för vilket värde som helst av 1, ger den ömsesidiga 1 1 samma värde. För exempel, använd 0 5 för 1 och använd sedan 1 0 5 2 för 1 Du får rho1 0 4 I båda fallen. För att tillfredsställa en teoretisk begränsning som kallas invertibilitet begränsar vi MA1-modellerna till att ha värden med absolutvärdet mindre än 1 I exemplet just givet är 1 0 5 ett tillåtet parametervärde medan 1 1 0 5 2 inte kommer att. Invertibility av MA modeller. En MA-modell sägs vara omvändbar om den är algebraiskt ekvivalent med en konvergerande oändlig ordning AR-modell. Genom konvertering menar vi att AR-koefficienterna minskar till 0 när vi flyttar tillbaka i tiden. Invertibility är en begränsning programmerad till tidsserie programvara som används för att uppskatta coeff icients of models med MA termer Det är inte något vi söker efter i dataanalysen Ytterligare information om invertibility-begränsningen för MA 1-modeller finns i bilagan. Avancerad teorinotering För en MA q-modell med en specificerad ACF finns det endast en omvänd modell Den nödvändiga förutsättningen för invertibilitet är att koefficienterna har värden så att ekvationen 1- 1 y - qyq 0 har lösningar för y som faller utanför enhetens cirkel. R Kod för exemplen. I exempel 1 ritade vi Teoretisk ACF av modellen xt 10 wt 7w t-1 och sedan simulerade n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för de simulerade data R-kommandona som användes för att plotta den teoretiska ACF var. acfma1 ARMAacf ma c 0 7, 10 lags av ACF för MA 1 med theta1 0 7 lags 0 10 skapar en variabel som heter lags som sträcker sig från 0 till 10 plot lags, acfma1, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA 1 med theta1 0 7 abline h 0 lägger en horisontell axel till plot. Th E första kommandot bestämmer ACF och lagrar det i ett objekt med namnet acfma1 vårt val av namn. Plot-kommandot 3: e kommandotyperna lags mot ACF-värdena för lags 1 till 10 ylab-parametern markerar y-axeln och huvudparametern sätter en titel på plottet. För att se de numeriska värdena för ACF använder du bara kommandot acfma1. Simuleringen och diagrammen gjordes med följande kommandon. Lista ma c 0 7 Simulerar n 150 värden från MA 1 x xc 10 lägger till 10 för att göra medelvärdet 10 Simulering standardvärden betyder 0 diagram x, typ b, huvud Simulerat MA 1 data acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade provdata. I exempel 2 ritade vi den teoretiska ACF av modellen xt 10 wt 5 w t-1 3 w t-2 och simulerade sedan n 150 värden från denna modell och ritade provtidsserierna och provet ACF för den simulerade Data R-kommandona som användes var. acfma2 ARMAacf ma c 0 5,0 3, acfma2 lags 0 10 plot lags, acfma2, xlim c 1,10, ylab r, typ h, huvud ACF för MA2 med theta1 O5, theta2 O 3 abline h 0 lista ma c 0 5, 0 3 x xc 10 plot x, typ b, huvud Simulerad MA 2-serie acf x, xlim c 1,10, huvud ACF för simulerade MA 2 Data. Appendix Bevis av egenskaper hos MA 1 . För intresserade studenter är här bevis på teoretiska egenskaper hos MA 1-modellen. Variantext xt text mu wt theta1 w 0 text wt text theta1w sigma 2w theta 21 sigma 2w 1 theta 21 sigma 2When h 1, föregående uttryck 1 W 2 För någon h 2 , Det föregående uttrycket 0 Anledningen är att, enligt definitionen av oberoende av Wt E wkwj 0 för någon kj vidare, eftersom wt har medelvärdet 0, E wjwj E wj 2 w 2.For en tidsserie. Använd detta resultat för att få ACF ges ovan. En inverterbar MA-modell är en som kan skrivas som en oändlig ordning AR-modell som konvergerar så att AR-koefficienterna konvergerar till 0 när vi rör sig oändligt tillbaka i tiden. Vi ska visa omvändlighet för MA 1-modellen. Vi då Substitutionsförhållande 2 för w t-1 i ekvation 1. 3 zt wt theta1 z-theta1w wt theta1z-theta 2w. At tiden t-2 ekvation 2 blir. Vi ersätter sedan förhållandet 4 för w t-2 i ekvation 3. zt wt Theta1 z - theta 21w wt theta1z - theta 21 z - theta1w wt theta1z - theta1 2z theta 31.Om vi ​​skulle fortsätta oändligt, skulle vi få oändlig ordning AR - modellen. Zt wt theta1 z - theta 21z theta 31z - theta 41z prickar. Observera att om 1 1 kommer koefficienterna som multiplicerar lagren av z ökar oändligt i storlek när vi flyttar tillbaka i tiden. För att förhindra detta behöver vi 1 1 Detta är Villkoret för en inverterbar MA 1-modell. Infinite Order MA-modellen. I vecka 3 ser vi att en AR 1-modell kan konverteras till en oändlig MA-modell. Xt - mu wt phi1w phi 21w prickar phi k1 w prickar summa phi j1w. Denna summering av tidigare vita ljudvillkor är känd som kausalrepresentation av en AR 1 Med andra ord är xt en speciell typ MA med ett oändligt antal termer Går tillbaka i tid Detta kallas ett oändligt order MA eller MA En ändlig ordning MA är en oändlig ordning AR och någon ändlös ordning AR är en oändlig ordning MA. Recall i vecka 1 noterade vi att ett krav på en stationär AR 1 är att 1 1 Låt oss beräkna Var xt med hjälp av kausalrepresentationen. Detta sista steg använder ett grundläggande fakta om geometriska serier som kräver phi1 1 annars skiljer serien bort.